Числовые выражения. Часть 1.

Числовые выражения. Часть 1.
Числовые выражения. Часть 1.

Действия с натуральными числами.

На страницу урока →

1.Числовые множества.

Мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел – мно­же­ство чисел, ко­то­рые при­ме­ня­ют­ся для счета пред­ме­тов. На­ту­раль­ные числа можно ис­поль­зо­вать в ка­че­стве но­ме­ров. Еди­ни­ца – наи­мень­шее на­ту­раль­ное число. Дан­ное мно­же­ство обо­зна­ча­ет­ся бук­вой N и имеет вид:

Мно­же­ство целых чисел со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, целых от­ри­ца­тель­ных чисел, ноля и обо­зна­ча­ет­ся бук­вой Z.

В мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел вклю­ча­ет­ся мно­же­ство целых чисел и дроб­ные числа. В общем виде это мно­же­ство за­пи­сы­ва­ет­ся как . Также сле­ду­ет от­ме­тить, что целые числа можно счи­тать част­ным слу­ча­ем дроб­ных чисел. На­при­мер, число -3 = -3/1, а это дробь. Мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел обо­зна­ча­ет­ся бук­вой Q.

Q=

2. Простые и составные натуральные числа. Основная теорема Арифметики.

По­дроб­но рас­смот­рим мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел. В на­ту­раль­ных чис­лах раз­ли­ча­ют про­стые числа и со­став­ные. Про­стые числа – это числа, ко­то­рые имеют два де­ли­те­ля. На­при­мер, числа 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. де­лят­ся на себя и на 1. В свою оче­редь, еди­ни­ца не яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, по­то­му что она де­лит­ся толь­ко на себя, имеет толь­ко один де­ли­тель.

Ос­нов­ная тео­ре­ма ариф­ме­ти­ки гла­сит, что любое со­став­ное на­ту­раль­ное число од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых чисел.

При­мер 1: раз­ло­жить число 18 на про­стые числа.

Ре­ше­ние: 18 = 2·3·3,

18 – это про­из­ве­де­ние 2·3·3 = 2·32.

Зна­чит, со­став­ное число од­но­знач­но раз­ло­жи­лось в про­из­ве­де­ние про­стых мно­жи­те­лей.

При­мер 2: раз­ло­жить число 12 на про­стые числа.

Ре­ше­ние:12 = 2·2·3.

12 = 22·3.

 

3. НОК и НОД.

НОК – наи­мень­шее общее крат­ное двух чисел. НОК двух целых чисел  и  на­зы­ва­ет­ся наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное целое число, крат­ное как , так и .

При­мер 3: найти .

Ре­ше­ние: Ис­поль­зу­ем ос­нов­ную тео­ре­му ариф­ме­ти­ки для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи.

Раз­ло­жим 20 и 30 на про­стые мно­жи­те­ли.

.

Общие де­ли­те­ли: 20 и 30: 2 и 5

Ответ: 60.

Для того, чтобы по­нять, где при­ме­ня­ют­ся НОД и НОК рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер.

При­мер 4. Найти зна­че­ние .

Ре­ше­ние: Для того, чтобы при­ве­сти дробь к об­ще­му зна­ме­на­те­лю необ­хо­ди­мо найти .

.

Зна­чит, 

Най­дем до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли.

До­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель   = 36 : 12= 3;

До­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель   = 36 : 18= 2;

Зна­чит, .

Ответ: .

При­мер 5: Найти зна­че­ний 

Ре­ше­ние: Ос­нов­ное свой­ство дроби за­клю­ча­ет­ся в том, что чис­ли­тель и зна­ме­на­тель можно раз­де­лить или умно­жить на одно и то же число. Най­дем это число из раз­ло­же­ния по ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки.

.

Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель можно со­кра­тить на 2 и на 3.

.

Ответ: 

4. Решим задачи для закрепления материала.

Задача №1.

В клас­се каж­дый че­ло­век по­лу­чил по по­дар­ку. По­дар­ки со­сто­я­ли из апель­си­нов и яблок. Для по­дар­ков за­ку­пи­ли 123 апель­си­на и 82 яб­ло­ка. Каж­до­му уче­ни­ку в клас­се раз­да­ли оди­на­ко­вый по­да­рок и по­тра­ти­ли все апель­си­ны и все яб­ло­ки.

Во­прос 1: сколь­ко уче­ни­ков в клас­се? Во­прос 2: Сколь­ко в каж­дом по­дар­ке было апель­си­нов, сколь­ко в каж­дом по­дар­ке было яблок?

Задача №2.

Шаг Во­ло­ди 75 см., а шаг Кати 60 см. Пер­вый шаг они сде­ла­ли в ногу, а потом у них раз­ное число шагов. На какой рас­сто­я­нии они сде­ла­ют сле­ду­ю­щий шаг в ногу?

На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии они сде­ла­ют по це­ло­му числу шагов?

Аватар (Дмитрий Кульков)
Опубликовано: 21.03.2017 г.