Теорема Пифагора

Теорема Пифагора— одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

На страницу урока →

Доказательство

Известно, что существует около 350 доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство, основанное на теореме существования площади фигуры:

$Pythagoras2$

Пошаговая иллюстрация доказательства

Расположим четыре прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
Четырехугольник со сторонами с является квадратом, так как сумма двух острых углов $90^\circ$ , а развернутый угол — $180^\circ$ .
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны — сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;$

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}$

$c^2=a^2+b^2;\frac{}{}$

Что и требовалось доказать.

Задача. Две стороны прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найти третью сторону. (Рассмотреть два случая).

1 случай. Пусть две данные стороны — катеты прямоугольного треугольника.

Дано: в Δ АВС / C=90º, АС=6 см, ВС=8 см.

Найти АВ.

Решение. По теореме Пифагора:

АВ²=АС²+ВС²;

АВ²=6²+8²;

АВ²=36+64;

Ответ: АВ=10 см.

1 случай. Пусть две данные стороны — катеты прямоугольного треугольника.

Дано: в Δ АВС / C=90º, АС=6 см, ВС=8 см.

Найти АВ.

Решение. По теореме Пифагора:

АВ²=АС²+ВС²;

АВ²=6²+8²;

АВ²=36+64;

Ответ: АВ=10 см.

решений задач:

Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD – основания. = 30о, АВ=2 см, СD = 10 см, DA = 8 см.

Найти SАВСD

Решение: так как = 30о, то АН = 0,5 AD = 4 см.

SАВСD = (2 + 10)×4 = 24 см2.

Дано:

АВ = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см. SАВС = 10 см2, SАDE = 2 см2.

Найти AD.

Решение:

По данным рисунка найдите площадь четырехугольника АВСD.

2. Вычислить:

3. По данным рисунков найдите угол

Задача 1 Расстояние по прямой линии от Испериха в Тутракан и Дулово равно 40 км и 28 км соответственно. Соединяя три города, получаем прямой угол в Исперихе. Найдите расстояние от Дулово до Тутракана.

Решение Если искомое расстояние обозначить как x, тогда x² = 40² + 28² = 1600 + 784 = 2384, x² = 2384 => x = √2384 ≈ 50 kм.

Задача 2 Докажите, что треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см является прямоугольным треугольником.

Решение 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Так как 3² + 4² = 5², то треугольник с такими длинами сторон есть прямоугольным (с гипотенузой 5 cм).